Редовниот шестоаголник и неговите својства

Дефиниција и конструкција

Редовен хексагон е рамна фигура која има шест еднакви страни и еднакви еднакви агли.

Ако се потсетиме на формулата за збирот на аглите на многуаголникот

180 ° (n-2),

тогаш излегува дека во оваа бројка е 720 °. Па, бидејќи сите агли на сликата се еднакви, лесно е да се пресмета дека секој од нив е еднаков на 120 °.

Нацртајте шестоаголник е многу едноставно, доволно е за компас и владетел.

А чекор-по-чекор инструкција ќе изгледа вака:

1. Се извлекува права линија и се става точка на неа;
2. од оваа точка се конструира кружница (тоа е нејзиниот центар);
3. Од пресекот на кругот со линијата се изградени уште две исти, тие мора да се спојуваат во центарот.
4. тогаш сите точки на првиот круг се поврзани последователно по сегменти.

Ако сакате, можете да направите без линија, цртајќи пет еднакви во радиус на кругови.

Сликата добиена на тој начин ќе биде редовен шестоаголник, и ова може да се докаже подолу.

Својствата се едноставни и интересни

За да се разберат особините на редовен хексагон, има смисла да се скрши во шест триаголници:

Ова ќе ви помогне подоцна визуелно да ги прикаже своите особини, главни од кои:

1. дијаметар на ограничениот круг;
2. дијаметар на впишаниот круг;
3. област;
4. периметар.

Ограничениот круг и можноста за изградба

Околу хексадекот може да се опише круг, а згора на тоа само еден. Бидејќи оваа бројка е точна, можно е да се постапи сосема едноставно: од двата соседни агли да се привлечат бисекторите внатре. Тие се пресекуваат на точката О и формираат заедно со страната меѓу нив триаголник.

Аглите меѓу страната на шестоаголникот и бисекторите ќе бидат 60 °, така што дефинитивно можеме да кажеме дека еден триаголник, на пример, е изоселен триаголник. И бидејќи третиот агол е исто така еднаков на 60 °, исто така е рамностран. Оттука произлегува дека сегментите ОА и ОБ се еднакви, што значи дека тие можат да служат како радиус на еден круг.

По ова, можете да отидете на следната страна, а од аголот во точката C исто така излегувате и со bisectrix. Добивме уште еден рамностран триаголник, а страничната AB ќе биде заедничка за две, а ОС - следниот радиус, низ кој оди истиот круг. Вкупно има шест такви триаголници и тие ќе имаат заедничка теме во точка О. Излезе дека можете да го опишете кругот и тоа е само еден, а неговиот радиус е еднаков на страната на шестоаголникот:

R = a.

Тоа е причината зошто е можно да се изгради оваа фигура со помош на компас и владетел.

Па, областа на овој круг ќе биде стандардна:

S = πR²

Впишан круг

Центарот на ограничениот круг ќе се совпадне со центарот на впишаниот круг. За да се потврди ова, може да се извлечат перпендикулари од точката О на страните на шестоаголникот. Тие ќе бидат височините на оние триаголници од кои е составен хексадекот. И во рамнокрак триаголник, висината е средна во однос на страната на која таа почива. Така, оваа висина не е ништо друго освен средната норма, која е радиусот на впишаниот круг.

Висината на рамномерен триаголник се пресметува едноставно:

h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2

И бидејќи R = a и r = h, тоа се покажува

r = R (√3) / 2.

Така, впишаниот круг поминува низ центрите на страните на редовниот шестоаголник.

Неговата област ќе биде:

S = 3πa² / 4,

тоа е три четвртини од опишаните.

Периметар и област

Со периметарот сè е јасно, ова е збирот на должината на страните:

P = 6a, или P = 6R

Но, областа ќе биде еднаква на збирот на сите шест триаголници, на кои може да се скрши хекс. Бидејќи областа на триаголникот се пресметува како половина од производот на основата за висината, тогаш:

S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 или

S = 3R² (√3) / 2

Ако сакате да ја пресметате оваа област преку радиусот на впишаниот круг, можете да го направите ова:

S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)

Забавни конструкции

Во хексадекот можете да внесете триаголник, чии страни ги поврзуваат темелите преку еден:

Во целост, тие ќе бидат две, а преклопувањето едни на други ќе му ја даде на Давидовиот ѕвезда. Секој од овие триаголници е рамностран. Ова не е тешко да се види. Ако погледнете на страната на АУ, тоа одеднаш припаѓа на два триаголника - ВАС и АЕС. Ако во првиот од нив AB = BC, а аголот помеѓу нив е 120 °, тогаш секој од останатите ќе биде 30 °. Од ова можеме да извлечеме логички заклучоци:

1. Висината на ABC од темето B е еднаква на половина од страната на шестоаголникот, бидејќи sin30 ° = 1/2. Оние кои сакаат да бидат убедени во ова може да се советуваат да се сметаат од Питагоровата теорема, таа е погодна тука, колку што е можно.
2. Страната на АС ќе биде еднаква на два радиуси на впишаниот круг, кој повторно се пресметува со истата теорема. Тоа е, AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
3. Триаголниците ABC, CDE и AEF се еднакви на двете страни и аголот помеѓу нив, а оттука следи еднаквоста на страните AC, CE и EA.

Преминуваат едни со други, триаголниците формираат нов шестоаголник, и исто така е точен. Ова се докажува едноставно:

1. Аголот на ABF е еднаков на аголот на BAC. Така, добиениот триаголник со основата AB и неименуваната теме наспроти тоа е рамнокрак.
2. Сите исти триаголници, чија основа е страна на шестоаголникот, се еднакви по должината на страната и аглите што се доближуваат до него.
3. Триаголниците на вертикалите на хексадекот се рамноправни и еднакви, што следи од претходната точка.
4. Аглите на новоформираниот хексагон се 360-120-60-60 = 120 °.

Така, сликата одговара на знаците на редовен шестоаголник - има шест еднакви страни и агли. Од еднаквоста на триаголниците на темините, лесно е да се заклучи должината на страната на новиот шестоаголник:

d = a (√3) / 3

Тоа ќе биде радиусот на кругот околу него. Радиусот на испишаниот ќе биде половина од страната на големиот шестоаголник, што беше докажано кога се разгледува триаголникот ABC. Неговата висина е само половина од страната, па затоа, втората половина е радиусот на кругот впишан во мал хекс:

r2 = a / 2

Областа на новиот шестоаголник може да се пресмета на следниов начин:

S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2

Излегува дека површината на хекс во внатрешноста на Давидовската ѕвезда е три пати помала од големата во која е впишана ѕвездата.

Од теорија до пракса

Карактеристиките на шестоаголникот се многу активно користени и во природата и во различни области на човековата активност. Прво, ова се однесува на завртки и навртки - првите и вторите капачиња не се ништо повеќе од редовен шестоаголник, ако не ги земате предвид фаќачите. Големината на шпинерите одговара на дијаметарот на впишаниот круг - односно на растојанието помеѓу спротивните страни.

Најдов неговата употреба и хексагонални плочки. Се дистрибуира многу помалку квадрангуларно, но попогодно е да се постават: во еден момент три плочки се затворени, а не четири. Композициите можат да бидат многу интересни:

Достапно е и бетонски поплочување за асфалтирање.

Преваленцата на хексагон во природата е едноставна. Така, најлесен начин е да се вклопат круговите и топките на авионот, ако го имаат истиот дијаметар. Поради ова, медоносните пчели имаат таква форма.